Teoría de Grafos

Teoría de Conjuntos

1.1 Teoría de Conjuntos.

Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en 1870

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquélla. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Conjunto

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenecen al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Ejemplos.

·         Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

·        El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.

Álgebra de conjuntos.

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• ·         Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

• ·         Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

• ·         Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

• ·         Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• ·         Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

• ·         Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

1.2 Teoria de Grafos.

La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas, que no se debe confundir con las gráficas que tienen una acepción muy amplia) estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados (edges en inglés) que pueden ser orientados o no. Por lo tanto también esta conocido como análisis de redes.

La teoría de grafos es una rama de las matemáticas discretas y de las matemáticas aplicadas, y es un tratado que usa diferentes conceptos de diversas áreas como combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética y topología.

Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el campo de la informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones.

El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del río Pregel en la ciudad de Königsberg, actualmente Kaliningrado, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (La solución de un problema relativo a la geometría de la posición) en 1736, es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología.

Luego, en 1847, Gustav Kirchhoff utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como leyes de Kirchhoff, considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de ingeniería.

 En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

 En 1857, Arthur Cayley estudió y resolvió el problema de enumeración de los isómeros, compuestos químicos con idéntica composición (fórmula) pero diferente estructura molecular. Para ello representó cada compuesto, en este caso hidrocarburos saturados CnH2n+2, mediante un grafo árbol donde los vértices representan átomos y las aristas la existencia de enlaces químicos.

 El término «grafo», proviene de la expresión H«graphic notation» usada por primera vez por Edward Frankland y posteriormente adoptada por Alexander Crum Brown en 1884, y hacía referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una molécula. El primer libro sobre teoría de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936.

Tipos de Grafos 

• Grafo simple. o simplemente grafo es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.

• Multigrafo. o pseudografo son grafos que aceptan más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos simples son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama grafos no-dirigido.

• Grafo dirigido. Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, representada gráficamente por una flecha.

• Grafo etiquetado. Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número entero generalmente) o un etiquetado a los vértices.

• Grafo Completo. Un Grafo completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles. Es decir, todo par de vértices debe tener una arista que los une.

• Grafo Bipartito. Un grafo G es bipartito cuando sus vértices son la unión de dos grupos de vértices y cumple las sigueintes condiciones.
• Los conjuntos de vértices son disjuntos y no vacios
• Cada arista de E une un vértice del primer conjunto con uno del segundo conjunto.
• No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2.

Representación de Grafos. 

Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), además de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

Estructura de lista.

• lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.
• lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.
• lista de grados - También llamada secuencia de grados o sucesión gráfica de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.

 Estructuras Matriciales. 

• Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño nˆ2, donde n es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento m ᵪ ᵧ es es 1, de lo contrario, es 0.

• Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [vértice, arista] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado).

  Caracterizaión de Grafos 

Grafos simples

• Un grafo es simple si a lo sumo existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.
• Un grafo que no es simple se denomina multigrafo.

Grafos conexos

• Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.
• Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.